bilangan kompleks

1.         Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah sebuah bilangan yang mempunyai bentuk a + bi, dimana a dan b merupakan bilangan real dan i  adalah bilangan imajiner.

Bilangan kompleks dapat dinotasikan dengan lambang “z”. Contoh:

-1 + i  z

4 + pi =  z

Sedangkan bilangan imajiner adalah bilangan-bilangan yang mempunyai pangkat (kuadrat) negative. Sebagai dasar yang digunakan adalah bilangan “i” dengan ketentuan:

I²  = -1 dan i =

1.1.  DEFINISI BILANGAN KOMPLEKS

► Bilangan kompleks adalah bilangan yang

besaran (skalarnya) tidak terukur secara

menyeluruh.

► Bilangan kompleks terdiri dari 2 komponen :

•Komponen bilangan nyata (riel) ; terukur

•Komponen bilangan khayal (imajiner) ; tak

terukur

► Bilangan kompleks merupakan fasor( vektor

yang arahnya ditentukan oleh sudut fasa)

► Bilangan kompleks dapat diekspresikan dalam

4 bentuk :

• Bentuk Rektangular

• Bentuk Polar

• Bentuk Trigonimetri

• Bentuk Eksponensial

• Bentuk Hiperbolik

• Bentuk Logaritma

1.2   Bilangan Kompleks dan Aljabarnya

            Himpunan bilangan kompleks didefinisikan sebagai keseluruhan besaran yang berbentuk

a + ib     atau    a + bi

dengan a dan b adalah bilangan nyata dan i² = -1.

Jika z = a + ib merupakan suatu bilangan kompleks, maka a dinamakan bagian nyata (real part) z dan b dinamakan bagian khayal ( imaginery part) z; kadang-kadang masing-masing diberi simbol:

a =R(z)   dan   b = I(z),

Bila R(z) = 0 dan I(z) ≠ 0, maka z dinamakan khayal murni (pure imaginery), misalnya bilangan     z = 3i.  Khususnya, bila R(z) = 0 dan I(z) =1, maka kita tuliskan z = i; dan bilangan ini kita namakan satuan khayal (imaginery unit).  Bila I(z) = 0, maka z menjadi bilangan nyata R(z); dalam pengertian ini, orang dapat memandang suatu bilangan nyata x sebagai bilangan kompleks dengan bentuk z = x + 0i.Misalkan  z_n =  x_n + iy_n,  n = 1,2,3  adalah sebarang tiga bilangan kompleks. Didefinisikan :

• kesamaan bilangan kompleks yaitu:

z₁ = z₂  jika dan hanya jika x₁ = x₂  dan y₁ = y₂ 

• Jumlah dua bilangan kompleks yaitu

z₁ + z₂  = ( x₁ + x₂ ) + i(y₁ + y₂ )

• Perkalian dua bilangan kompleks

z₁ z₂  = (x₁ x₂ -   y₁  y₂  ) +  i(x₁ y₂ + x₂  y₁)

• Bilangan nol (elemen netral dalam penjumlahan) pada sistem bilangan  kompleks ialah bilangan 0 + 0i, yang dapat ditulis sebagai 0, dan
• Bilangan satuan (elemen netral dalam perkalian) adalah bilangan 1 + 0i, yang dapat ditulis secara sederhana menjadi 1.
• Jika z merupakan suatu bilangan kompleks, maka ada satu dan hanya satu bilangan kompleks yang akan dilambangkan dengan –z, sedemikian sehingga  z + (-z) = 0 ;   -z dinamakan negative z (lawan penjumlahan) dan jelas bahwa jika z = x + yi, maka –z = -x – yi.
• Untuk suatu bilangan kompleks bukan nol z = x + iy terdapat satu dan hanya satu bilangan kompleks z^-1 atau   sedemikian sehingga  zz^-1 = 1;  z^-1 dinamakan kebalikan z (lawan perkalian) dan perhitungan langsung menghasilkan : Guna memudahkan manipulasi aljabar, selanjutnya, didefinisikan :

• selisih dua bilangan kompleks dengan   z₁ – z₂ = z₁ + (-z₂),   yang hasilnya

            z₁ – z₂ = (x₁ – x₂) +(y₁ – y₂)i.

• hasil bagi (quotient) dua bilangan kompleks yang hasilnya :

z₂ ≠ 0

• kesekawanan (conjugation), yaitu jika z = x + iy, maka sekawan z yang dituliskan , didefinisikan dengan:

 = x – yi.